Логические законы и правила преобразования логических выражений

Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Рассмотрим в качестве примера применения законов логики преобразование логического выражения.

Закон непротиворечия. Закон двойного отрицания. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре. Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при логических переменных.

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина». В алгебре высказыва­ний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения.

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики. Наиболее простые и необходимые истинные связи между мыслями выражаются в основных законах формальной логики.

Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются наиболее общими. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать.

Последний закон говорит о том, что доказательство чего-либо предполагает обоснование именно и только истинных мыслей. Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения, фактический материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, доказанные теоремы. Иногда эти законы называются теоремами.

Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную. Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний. Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.

Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: «либо — либо», «истина—ложь». Там же, где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.

В логике из-за ее формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы. Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть получены остальные законы алгебры высказываний. Проведите доказательство законов поглощения самостоятельно. Мнемоническое правило: в левой части тождества операция отрицания стоит над всем высказыванием.

Логические законы и правила преобразования логических выражений

1) Выучить законы логики, используя курс «Алгебры логики», размещенный в информационном пространстве (www.learning.9151394.ru). В прошлом уроке были рассмотрены условия истинности для категорических атрибутивных высказываний в силлогистике.

Во введении к курсу было сказано, что логика – это нормативная наука о формах и приёмах рациональной познавательной деятельности. Как и любая другая наука, логика также формулирует свои законы. Таким образом, логические законы представляют собой некие общие принципы, которыми люди должны руководствоваться в процессе рассуждения.

По этой причине логические законы также иногда называют логическими тавтологиями: о чём бы мы не говорили, высказывания, имеющие форму логических законов, всегда оказываются истинными. Здесь всё довольно ясно: «Идёт дождь» – это простое высказывание, которое может принимать значение либо «истина», либо «ложь». Обычно для удобства логики сокращают значения до «и» и «л», а само высказывание записывают маленькой буквой латинского алфавита: p, q, r, s и т.д.

Важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют законы алгебраических преобразований. Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания — Г. Лейбницем. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего. Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание.

Еще интересное: